“余数小于除数”,老师说了八百次,就是不明白为啥

​文 & 排版|刷刷

图|网络

小学二年级就开始学习带余除法了,这时候总会听到老师一次又一次地反复强调:余数一定要小于除数。
为什么余数一定要小于除数?如果等于或者大于除数会产生什么结果呢?小时候你向老师提过这样的问题吗?你的孩子再问到这个问题时,你又会和孩子怎么解释呢?
很多爸爸妈妈自己也不太明白,不知道怎么跟孩子解释这个定理,只能用“数学课本上就是这么规定的”、“我也不太清楚”来敷衍了事,这样只会打击孩子的求知欲望。
也有小学数学知识依旧在线的爸妈可能会说:因为余数大于除数就可以再继续分。
这样的解释也没毛病,不过不够严谨。
其实答案很简单:“为了保证不完全商的唯一性”。

但是这么高深又枯燥的语言,孩子怎么听得懂?
既然不容易说出来,不如试着做出来。
素材很简单:只要有足够多的火柴棍就可以(或者小糖果)

Processed with Onetake with Fujisan preset.

先用4根火柴围成一个正方形做个示范。问问孩子有8根同样长的火柴,可以摆几个这样的正方形?孩子很容易就能答出来:能摆2个正方形。

Processed with Onetake with Fujisan preset.

如果是 9根、10根、11根、12根呢,也像这样摆正方形,分别可以摆几个?这里有些数字不能被4整除,不属于孩子熟悉的表内除法,可能一时答不出来,不如让孩子动手摆一摆,验证一下自己的想法。
进行过几轮这样的游戏之后,孩子就能逐渐感知每一轮游戏的变化规律:
当火柴棍是8根时,正好可以摆2个正方形。而火柴棍是9、10、11根的时候也只能摆成2个正方形,因为剩余的1根、2根、3根火柴都不足以摆成一个完整的正方形。

Processed with Onetake with Manhattan preset.

Processed with Onetake with Fujisan preset.

但是用12根火柴时,12比8多出来4根,这4根又可以摆成一个正方形,没有剩余的火柴。
用算式可以表示为:
9÷4=2……1(根)

10÷4=2……2(根)

11÷4=2……3(根)

12÷4=3……余数为0

为了让孩子进一步感知余数与除数的关系,接下来再让孩子动手摆一摆三角形和五边形。
对比每一轮的剩余数之后会发现:同样是10根火柴,摆正方形的话,可以摆两个,剩余2根火柴;摆三角形的话,就可以摆3个,剩余1根火柴。意味着余数够不够凑成一份,要看具体除数是多少。

Processed with Onetake with Manhattan preset.

通过这样的操作和比较,孩子就可以初步理解余数与除数的关系:
如果余数比除数大了就还能再分。余数只要满4,就又可以摆成一个正方形,意味着商就要多1。同样的余数满3、余数满5,也意味着商要多1,所以余数要小于除数。
还可以拿生活中的情景作解释,有8颗糖要分给爸爸妈妈两个人,有很多种分法:
可以每个人分得1个,剩余6个;还可以每个人都分得2个,剩余4个,还可以每个人都分得3个,剩2个,还能每个人分得4个,一个不剩。
从生活的角度去看待这三种方式,每一种分法都是合理的,但是抽象到数学问题的话,它的计算结果不确定,会给计算带来麻烦。
我们在文章开头也提到了“余数大于除数就还能够再分”这个说法并不严谨。所以就有了带余除法的概念规定:
如果正整数 a 除以正整数 b,不能得到整数商,设a最多包含 q 个 b,也就是说 bq<a<b(q+1), 那么整数 q 叫做不完全商,a 与 bq 的差叫做余数。显然,在带余除法中,有如下性质:

✅余数必须小于除数,即 r<b;

✅不完全商与余数都是唯一的。

从概念规定里,可以发现为了保证商和余数的唯一性,也就是一个有余数的除法算式里,只能有一个商和一个余数。这样一来,保证了计算结果的唯一确定性。
“余数一定要比除数小” 是一个十分重要的概念 。它既能保证不完全商的唯一性,又是带余除法中求商规律的重要依据。因此,让孩子从多方面感知、理解掌握余数为什么要小于除数的道理,后面用竖式计算有余数的除法时才能更加自觉地监控余数,并根据余数灵活试商。

如需转载,请在标题下注明“转载自 火花思维 m.huohua.cn”